音律計算と行列計算１

音律計算で行列計算を有効活用できることを示してみた。（その１）

調律計算用各種音程

「チェンバロの保守と調律」補遺編　東京コレギウム　野村満男著より

b45 オクターブ(二倍音) c45:e45 =ArrayFormula({1,0,0})

b46 三倍音 c46:e46 =ArrayFormula({0,1,0})

b47 五倍音 c47:e47 =ArrayFormula({0,0,1})

c3:c5 =ArrayFormula(transpose($C45:$E45))

d3:d5 =ArrayFormula(transpose($C46:$E46))

e3:e5 =ArrayFormula(transpose($C47:$E47))

c7:e7 =ArrayFormula({2,3,5})

g10 =ArrayFormula(product(C$7:F$7^(if(C10:F10>0,C10:F10,0))))&"/"&arrayformula(product(C$7:F$7^(if(C10:F10<0,-C10:F10,0))))

h10 =ArrayFormula(product(C$7:F$7^C10:F10))

i10 =1200/ln(2)*ln(H10)

	B	C	D	E	F	G	H	I
2		二倍音	三倍音	五倍音	七倍音
3	二倍音の数	1	0	0	0
4	三倍音の数	0	1	0	0
5	五倍音の数	0	0	1	0
7	周波数比	2	3	5	7
8
9		二倍音 の数	三倍音 の数	五倍音 の数	七倍音 の数	周波数比 (分数)	周波数比 (小数)	周波数比の 対数(セント)
10	同度	0	0	0	0	1/1	1.000000	0.000000
11	スキスマ	-15	8	1	0	32805/32768	1.001129	1.953721
12	クライスマ	-6	-5	6	0	15625/15552	1.004694	8.107279
13	ディアスキスマ	11	-4	-2	0	2048/2025	1.011358	19.552569
14	シントニックコンマ	-4	4	-1	0	81/80	1.012500	21.506290
15	ピタゴラスコンマ	-19	12	0	0	531441/524288	1.013643	23.460010
16	小ディエシス	7	0	-3	0	128/125	1.024000	41.058858
17	大ディエシス	3	4	-4	0	648/625	1.036800	62.565148
18	小半音	-3	-1	2	0	25/24	1.041667	70.672427
19	ピタゴラスリンマ	8	-5	0	0	256/243	1.053498	90.224996
20	大半音	-7	3	1	0	135/128	1.054688	92.178716
21	ディアトニック半音	4	-1	-1	0	16/15	1.066667	111.731285
22	ピタゴラスのアポトメー	-11	7	0	0	2187/2048	1.067871	113.685006
23	大リンマ	0	3	-2	0	27/25	1.080000	133.237575
24	小全音	1	-2	1	0	10/9	1.111111	182.403712
25	大全音	-3	2	0	0	9/8	1.125000	203.910002
26	ピタゴラス短三度	5	-3	0	0	32/27	1.185185	294.134997
27	純正短三度	1	1	-1	0	6/5	1.200000	315.641287
28	ピタゴラスの減四度	13	-8	0	0	8192/6561	1.248590	384.359993
29	純正長三度	-2	0	1	0	5/4	1.250000	386.313714
30	ピタゴラスの長三度	-6	4	0	0	81/64	1.265625	407.820003
31	ミーントーンウルフ長三度	5	0	-2	0	32/25	1.280000	427.372572
32	純正完全四度	2	-1	0	0	4/3	1.333333	498.044999
33	スキスマ五度	14	-7	-1	0	16384/10935	1.498308	700.001280
34	純正完全五度	-1	1	0	0	3/2	1.500000	701.955001
35	小減六度	10	-3	-2	0	1024/675	1.517037	721.507570
36	大減六度	6	1	-3	0	192/125	1.536000	743.013859
37	ピタゴラス短六度	7	-4	0	0	128/81	1.580247	792.179997
38	純正短六度	3	0	-1	0	8/5	1.600000	813.686286
39	純正長六度	0	-1	1	0	5/3	1.666667	884.358713
40	ピタゴラス長六度	-4	3	0	0	27/16	1.687500	905.865003
41	ピタゴラス短七度	4	-2	0	0	16/9	1.777778	996.089998
42	純正短七度	0	2	-1	0	9/5	1.800000	1017.596288
43	純正長七度	-3	1	1	0	15/8	1.875000	1088.268715
44	ピタゴラス長七度	-7	5	0	0	243/128	1.898438	1109.775004
45	オクターブ(二倍音)	1	0	0	0	2/1	2.000000	1200.000000
46	三倍音	0	1	0	0	3/1	3.000000	1901.955001
47	五倍音	0	0	1		5/1	5.000000	2786.313714

分母が1でも「/1」となってしまうのはご愛敬。

m3:m5 =ArrayFormula(transpose($C45:$E45))

n3:n5 =ArrayFormula(transpose($C34:$E34))

o3:o5 =ArrayFormula(transpose($C14:$E14))

m7:o7 =ArrayFormula(2^mmult(ln(C7:E7)/ln(2),M3:O5))

m10:o10 =ArrayFormula(mmult(C10:E10,minverse(transpose(M$3:O$5))))

※逆行列によりベクトルの座標変換。厳密にはベクトルではないと思う。

純正完全五度の数=五度圏idとs.c.の数で英語風音名と拡張版音程を求めている。

t10 =index({"C","D","E","F","G","A","B"},mod(N10*4,7)+1)&rept(if(int((N10+1)/7)>0,"#","b"),abs(int((N10+1)/7)))&"^"&O10

w10 =IF(N10^2>19^2,abs(rounddown(round(2*N10/7,0)/2)),"")&IF(N10^2>12^2,"重","")&IF(N10^2<2,"完全",IF(N10<-5,"減",IF(N10<-1,"短",IF(N10<6,"長","増"))))&round(mod(N10*4,7))+1&"度"&"^"&O10

	L	M	N	O	P	Q	R	S	T	U	V	W
2		オクターブ	純正完全五度	S.C.	七倍音
3	二倍音の数	1	-1	-4	0
4	三倍音の数	0	1	4	0
5	五倍音の数	0	0	-1	0
					0
7	周波数比	2	1.5	1.0125	7
8
9		オクターブ の数	純正完全五度 の数	S.C. の数	七倍音 の数		幹音Id	嬰数	音名 (英語風)	度数	増数	音程 (拡張版)
10	同度	0	0	0	0		0	0	C^0	1	0	完全1度^0
11	スキスマ	-7	12	-1	0		6	1	B#^-1	7	1	増7度^-1
12	クライスマ	-11	19	-6	0		6	2	B##^-6	7	2	重増7度^-6
13	ディアスキスマ	7	-12	2	0		1	-2	Dbb^2	2	-1	減2度^2
14	シントニックコンマ	0	0	1	0		0	0	C^1	1	0	完全1度^1
15	ピタゴラスコンマ	-7	12	0	0		6	1	B#^0	7	1	増7度^0
16	小ディエシス	7	-12	3	0		1	-2	Dbb^3	2	-1	減2度^3
17	大ディエシス	7	-12	4	0		1	-2	Dbb^4	2	-1	減2度^4
18	小半音	-4	7	-2	0		0	1	C#^-2	1	1	増1度^-2
19	ピタゴラスリンマ	3	-5	0	0		1	-1	Db^0	2	-0.5	短2度^0
20	大半音	-4	7	-1	0		0	1	C#^-1	1	1	増1度^-1
21	ディアトニック半音	3	-5	1	0		1	-1	Db^1	2	-0.5	短2度^1
22	ピタゴラスのアポトメー	-4	7	0	0		0	1	C#^0	1	1	増1度^0
23	大リンマ	3	-5	2	0		1	-1	Db^2	2	-0.5	短2度^2
24	小全音	-1	2	-1	0		1	0	D^-1	2	0.5	長2度^-1
25	大全音	-1	2	0	0		1	0	D^0	2	0.5	長2度^0
26	ピタゴラス短三度	2	-3	0	0		2	-1	Eb^0	3	-0.5	短3度^0
27	純正短三度	2	-3	1	0		2	-1	Eb^1	3	-0.5	短3度^1
28	ピタゴラスの減四度	5	-8	0	0		3	-1	Fb^0	4	-1	減4度^0
29	純正長三度	-2	4	-1	0		2	0	E^-1	3	0.5	長3度^-1
30	ピタゴラスの長三度	-2	4	0	0		2	0	E^0	3	0.5	長3度^0
31	ミーントーンウルフ長三度	5	-8	2	0		3	-1	Fb^2	4	-1	減4度^2
32	純正完全四度	1	-1	0	0		3	0	F^0	4	0	完全4度^0
33	スキスマ五度	7	-11	1	0		5	-2	Abb^1	6	-1	減6度^1
34	純正完全五度	0	1	0	0		4	0	G^0	5	0	完全5度^0
35	小減六度	7	-11	2	0		5	-2	Abb^2	6	-1	減6度^2
36	大減六度	7	-11	3	0		5	-2	Abb^3	6	-1	減6度^3
37	ピタゴラス短六度	3	-4	0	0		5	-1	Ab^0	6	-0.5	短6度^0
38	純正短六度	3	-4	1	0		5	-1	Ab^1	6	-0.5	短6度^1
39	純正長六度	-1	3	-1	0		5	0	A^-1	6	0.5	長6度^-1
40	ピタゴラス長六度	-1	3	0	0		5	0	A^0	6	0.5	長6度^0
41	ピタゴラス短七度	2	-2	0	0		6	-1	Bb^0	7	-0.5	短7度^0
42	純正短七度	2	-2	1	0		6	-1	Bb^1	7	-0.5	短7度^1
43	純正長七度	-2	5	-1	0		6	0	B^-1	7	0.5	長7度^-1
44	ピタゴラス長七度	-2	5	0	0		6	0	B^0	7	0.5	長7度^0
45	オクターブ(二倍音)	1	0	0	0		0	0	C^0	1	0	完全1度^0
46	三倍音	1	1	0	0		4	0	G^0	5	0	完全5度^0
47	五倍音	0	4	-1	0		2	0	E^-1	3	0.5	長3度^-1

スキスマ五度が理論的には減六度なのが分かる。もちろん実用上五度とするのは問題ない。

幹音id=度数-1

嬰数は#の数。b(ここではフラットはBの小文字で表示)は-1として計算。

増数は増の数。重増は2、減は-1として計算。短=-0.5、完全=0、長=0.5とした。

１以上の場合は嬰数=増数だが１未満では差がある。

拡張版音程は音程をオクターブ調整したもの。もし音程であれば負になって「存在しない」になってしまうものも存在し(この表にはないが)、完全8度は完全1度になっている。

w10の最後の方のroundは無駄。行削除で度数に小数点の数が出てしまった時の対処の名残り。

余談１

グーグルドライブの表を貼り付けた場合、非表示にした行や列も貼り付けられてしまう。htmlの仕組み上、行を消すのは難しくないが列を消すのは簡単ではない。幅を狭くしたり一時的に削除したりして対応した。

後々７リミット以上の音律計算にも対応するため７倍音の列と行も用意して計算できるようにしてあるが、今は５リミットだけで満足しているｗ

2023.05.02 00:53公開　単純ミスなどは適宜修正済＆修正予定