３点を通る円(２次元平面内)

エクセル等の表計算ソフトの逆行列関数を使って３点を通る円を求める。(２次元平面内)

まず求める円の式を

　x^2+y^2+l*x+m*y+n=0

とすると

　l*x+m*y+n=-(x^2+y^2)

なので３点を

　p1(x1,y1)、p2(x2,y2)、p3(x3,y3)　(表のD4:E6)

とすると

　l*x1+m*y1+n=-(x1^2+y1^2)

　l*x2+m*y2+n=-(x2^2+y2^2)

　l*x3+m*y3+n=-(x3^2+y3^2)

となる。行列の式で書けば　(libreofficecalcでmathをオブジェクトとして使用)

となり、逆行列を使えば一発で答えが出る。

逆行列と配列定数を使用してl,m,nを求める。配列定数を使って前半は３行２列の行列の１列目と２列目を入れ替えて３列目を追加して３列目を１とした。後半は２乗して横方向の和。

　D8:D10 =ArrayFormula(mmult(MINVERSE(mmult(D4:E6,{0,1,0;1,0,0})+{0,0,1;0,0,1;0,0,1}),-MMULT(D4:E6^2,{1;1})))

次に中心座標と半径を求める。

　D12 =-D8/2

　D13 =-D9/2

　D14 =((D8^2/4+D9^2/4)-D10)^(1/2)

	B	C	D	E
2
3			y	x
4		p1	0.000	0.000
5		p2	4.000	4.000
6		p3	0.000	4.000
7
8		l	-4.000
9		m	-4.000
10		n	0.000
11
12		中心x	2.000
13		中心y	2.000
14		半径	2.828

　F36 =iferror((-D$9-(D$9^2-4*D36^2-4*D$8*D36-4*D$10)^(1/2))/2,"")

　Ｇ36 =iferror((-D$9+(D$9^2-4*D36^2-4*D$8*D36-4*D$10)^(1/2))/2,"")

	B	C	D	E	F	G
26		グラフ用
27	-0.828	←x=中心-r	x	y(p1-p3)	y(円の下側)	y(円の上側)
28	4.828	←x=中心+r	0.000	0.000
29	0.566	←xの範囲の１割	4.000	4.000
30	10	←分割	4.000	0.000
31			-1.0547
32			-0.9981
33			-0.9416
34			-0.8850
35			-0.8284
36			-0.7719		1.4372	2.5628
37			-0.7153		1.2080	2.7920
38			-0.6587		1.0350	2.9650
39			-0.6022		0.8915	3.1085
40			-0.5456		0.7671	3.2329
41			-0.4890		0.6566	3.3434
42			-0.4324		0.5567	3.4433
43			-0.3759		0.4653	3.5347
44			-0.3193		0.3811	3.6189
45			-0.2627		0.3029	3.6971
46			-0.2062		0.2300	3.7700
47			-0.1496		0.1617	3.8383
48			-0.0930		0.0976	3.9024
49			-0.0365		0.0371	3.9629
50			0.0201		-0.0199	4.0199
51			0.0767		-0.0738	4.0738
52			0.1332		-0.1249	4.1249
53			0.1898		-0.1733	4.1733
54			0.2464		-0.2192	4.2192
55			0.3029		-0.2627	4.2627
56			0.3595		-0.3041	4.3041
57			0.4161		-0.3433	4.3433
58			0.4726		-0.3806	4.3806
59			0.5292		-0.4159	4.4159
60			0.5858		-0.4495	4.4495

グラフ用データ行は以下略

2023.04.25 19:22公開　単純ミスなどは適宜修正済＆修正予定

余談１

フォントによってズレそうだ。後でhtmlで表を作るかドライブの表に差し替える予定。

実際に３点を通る散布図も追加したい。

余談２

最初は円の中心のx座標=a、円の中心のy座標=b、円の半径=rとして

　(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

で考えて身動きが取れなくなったｗ

　x^2+y^2+l*x+m*y+n=0

の式を見かけて「これならできる」と思った。l,m,nを求める段階ではx,yは変数じゃなくてただの定数であると思い至った。他の問題でも使えそうだ。

余談３

いつか３点を通る円(３次元空間内)をやってみたい。

以下テスト用

mathtypeを使った行列の式の残骸

htmlの表を使った行列の式の残骸ｗ

[x1	y1	1]	[l]		[x1^2+y1^2]
[x2	y2	1]	[m]	=-	[x2^2+y2^2]
[x3	y3	1]	[n]		[x3^2+y3^2]

[l]		[x1	y2	1]^-1	[x1^2+y1^2]
[m]	=-	[x2	y2	1]	[x2^2+y2^2]
[n]		[x3	y3	1]	[x3^2+y3^2]