seriessum関数でべき級数を求めてみる

 seriessum関数の正しい使い道を模索してみた。

f2 =pi()

「べき級数　円周率」で検索

　https://www.procrasist.com/entry/pi_1　(PROCRASISTさん)

c5 =ArrayFormula((SERIESSUM(1,1,1,ROW(indirect("A1:A"&B5))^-2)*6)^0.5)

d5 =ArrayFormula(SUM((ROW(indirect("A1:A"&B5))^-2)*6)^0.5)

　

c6 =ArrayFormula(SERIESSUM(-1,0,1,1/(2*(ROW(indirect("A1:A"&B6))-1)+1))*4)

d6 =ArrayFormula(sum((-1)^(ROW(indirect("A1:A"&B6))-1)/(2*(ROW(indirect("A1:A"&B6))-1)+1))*4)

　

c7 =ArrayFormula(SERIESSUM(-1*882^-2*4^-4,0,1,FACT((ROW(indirect("A1:A"&B7))-1)*4)*(1123+21460*(ROW(indirect("A1:A"&B7))-1))*FACT(ROW(indirect("A1:A"&B7))-1)^-4/882)^-1*4)

d7 =ArrayFormula(SUM((-1)^(row(indirect("A1:A"&B7))-1)*fact(4*(row(indirect("A1:A"&B7))-1))*(1123+21460*(row(indirect("A1:A"&B7))-1))*882^-(2*(row(indirect("A1:A"&B7))-1)+1)*(4^(row(indirect("A1:A"&B7))-1)*fact(row(INDIRECT("A1:A"&B7))-1))^-4)^-1)*4

　ラマヌジャン式

「ラマヌジャン」で検索

　https://mathlog.info/articles/3583　(Mathlogさん)

c8 =ArrayFormula(seriessum(396^-4,0,1,fact(4*(row(indirect("A1:A"&B8))-1))*(fact(row(indirect("A1:A"&B8))-1))^-4*(26390*(row(INDIRECT("A1:A"&B8))-1)+1103))*2^(3/2)*99^-2)^-1

d8 =ArrayFormula(sum(fact(4*(row(indirect("A1:A"&B8))-1))*fact(row(indirect("A1:A"&B8))-1)^-4*(26390*(row(indirect("A1:A"&B8))-1)+1103)*396^(-4*(row(indirect("A1:A"&B8))-1)))*2^(3/2)*99^-2)^-1

　

　ラマヌジャンの円周率公式

c9 =ArrayFormula(12*seriessum(640320^-3,0,1,-1^(row(indirect("A1:A"&B9))-1)*fact(6*(row(indirect("A1:A"&B9))-1))*fact(3*(row(indirect("A1:A"&B9))-1))^-1*fact(row(indirect("A1:A"&B9))-1)^-3*(545140134*(row(indirect("A1:A"&B9))-1)+13591409)*640320^-(3/2)))^-1

d9 =ArrayFormula(12*sum(-1^(row(indirect("A1:A"&B9))-1)*fact(6*(row(indirect("A1:A"&B9))-1))*fact(3*(row(indirect("A1:A"&B9))-1))^-1*fact(row(indirect("A1:A"&B9))-1)^-3*(545140134*(row(indirect("A1:A"&B9))-1)+13591409)*640320^-(3*(row(indirect("A1:A"&B9))-1)+3/2)))^-1

　　

Chudnovskyの公式

{e5:e9} =ArrayFormula(C5:C9-D5:D9)

{f5:g9} =ArrayFormula(C5:D9-$F$2)

	B	C	D	E	F	G
2					3.141592653589790
3
4	個数	seriessum関数を 使用	seriessum関数を 不使用	両者の差	seriessum関数 使用のpiとの差	seriessum関数 不使用のpiとの差
5	400000	3.141590266267720	3.141590266267670	0.000000000000050	-0.000002387322069	-0.000002387322119
6	400000	3.141590153589790	3.141590153589740	0.000000000000049	-0.000002500000000	-0.000002500000049
7	2	3.141592653597620	3.141592653597620	0.000000000000000	0.000000000007829	0.000000000007829
8	2	3.141592653589800	3.141592653589800	0.000000000000000	0.000000000000002	0.000000000000002
9	1	3.141592653589730	3.141592653589730	0.000000000000000	-0.000000000000059	-0.000000000000059
10
11

余談１

　n乗の部分が多いとseriessum関数が効率化に役立つ感じかな。

余談２

　最初の２つ、個数が多くなると誤差も大きくなるのは仕方ない。200万にしても多分もっと増やしても正解には近づかない。あと関数で組み立てた式が本当に合っているのか検証できないのも困りもの(特に下の３つ)ｗ　今回はよく知られた定数だから良いが、多分本来の使い方はもっと未知の数字を求めるのだと思う。色々と大変そうだ。

2023.04.28 19:07公開　単純ミスなどは適宜修正済＆修正予定

３点を通る円(２次元平面内)

エクセル等の表計算ソフトの逆行列関数を使って３点を通る円を求める。(２次元平面内)

まず求める円の式を

　x^2+y^2+l*x+m*y+n=0

とすると

　l*x+m*y+n=-(x^2+y^2)

なので３点を

　p1(x1,y1)、p2(x2,y2)、p3(x3,y3)　(表のD4:E6)

とすると

　l*x1+m*y1+n=-(x1^2+y1^2)

　l*x2+m*y2+n=-(x2^2+y2^2)

　l*x3+m*y3+n=-(x3^2+y3^2)

となる。行列の式で書けば　(libreofficecalcでmathをオブジェクトとして使用)

となり、逆行列を使えば一発で答えが出る。

逆行列と配列定数を使用してl,m,nを求める。配列定数を使って前半は３行２列の行列の１列目と２列目を入れ替えて３列目を追加して３列目を１とした。後半は２乗して横方向の和。

　D8:D10 =ArrayFormula(mmult(MINVERSE(mmult(D4:E6,{0,1,0;1,0,0})+{0,0,1;0,0,1;0,0,1}),-MMULT(D4:E6^2,{1;1})))

次に中心座標と半径を求める。

　D12 =-D8/2

　D13 =-D9/2

　D14 =((D8^2/4+D9^2/4)-D10)^(1/2)

	B	C	D	E
2
3			y	x
4		p1	0.000	0.000
5		p2	4.000	4.000
6		p3	0.000	4.000
7
8		l	-4.000
9		m	-4.000
10		n	0.000
11
12		中心x	2.000
13		中心y	2.000
14		半径	2.828

　F36 =iferror((-D$9-(D$9^2-4*D36^2-4*D$8*D36-4*D$10)^(1/2))/2,"")

　Ｇ36 =iferror((-D$9+(D$9^2-4*D36^2-4*D$8*D36-4*D$10)^(1/2))/2,"")

	B	C	D	E	F	G
26		グラフ用
27	-0.828	←x=中心-r	x	y(p1-p3)	y(円の下側)	y(円の上側)
28	4.828	←x=中心+r	0.000	0.000
29	0.566	←xの範囲の１割	4.000	4.000
30	10	←分割	4.000	0.000
31			-1.0547
32			-0.9981
33			-0.9416
34			-0.8850
35			-0.8284
36			-0.7719		1.4372	2.5628
37			-0.7153		1.2080	2.7920
38			-0.6587		1.0350	2.9650
39			-0.6022		0.8915	3.1085
40			-0.5456		0.7671	3.2329
41			-0.4890		0.6566	3.3434
42			-0.4324		0.5567	3.4433
43			-0.3759		0.4653	3.5347
44			-0.3193		0.3811	3.6189
45			-0.2627		0.3029	3.6971
46			-0.2062		0.2300	3.7700
47			-0.1496		0.1617	3.8383
48			-0.0930		0.0976	3.9024
49			-0.0365		0.0371	3.9629
50			0.0201		-0.0199	4.0199
51			0.0767		-0.0738	4.0738
52			0.1332		-0.1249	4.1249
53			0.1898		-0.1733	4.1733
54			0.2464		-0.2192	4.2192
55			0.3029		-0.2627	4.2627
56			0.3595		-0.3041	4.3041
57			0.4161		-0.3433	4.3433
58			0.4726		-0.3806	4.3806
59			0.5292		-0.4159	4.4159
60			0.5858		-0.4495	4.4495

グラフ用データ行は以下略

2023.04.25 19:22公開　単純ミスなどは適宜修正済＆修正予定

余談１

フォントによってズレそうだ。後でhtmlで表を作るかドライブの表に差し替える予定。

実際に３点を通る散布図も追加したい。

余談２

最初は円の中心のx座標=a、円の中心のy座標=b、円の半径=rとして

　(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

で考えて身動きが取れなくなったｗ

　x^2+y^2+l*x+m*y+n=0

の式を見かけて「これならできる」と思った。l,m,nを求める段階ではx,yは変数じゃなくてただの定数であると思い至った。他の問題でも使えそうだ。

余談３

いつか３点を通る円(３次元空間内)をやってみたい。

以下テスト用

mathtypeを使った行列の式の残骸

htmlの表を使った行列の式の残骸ｗ

[x1	y1	1]	[l]		[x1^2+y1^2]
[x2	y2	1]	[m]	=-	[x2^2+y2^2]
[x3	y3	1]	[n]		[x3^2+y3^2]

[l]		[x1	y2	1]^-1	[x1^2+y1^2]
[m]	=-	[x2	y2	1]	[x2^2+y2^2]
[n]		[x3	y3	1]	[x3^2+y3^2]