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端数処理について 音律計算と行列計算２

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４点を通る球面(３次元空間内)

エクセル等の表計算ソフトの逆行列関数を使って４点を通る球面を求める。(３次元空間内)

「３点を通る円(２次元平面内)」と全く同じ方法で求める。

まず求める球面の式を

　x^2+y^2+z^2+l*x+m*y+n*z+o=0

とすると

　l*x+m*y+n*z+o=-(x^2+y^2+z^2)

なので４点を

　p1(x1,y1,z1)、p2(x2,y2,z2)、p3(x3,y3,z3)、p4(x4,y4,z4)　(表のD4:F7)

とすると

　l*x1+m*y1+n*z1+o=-(x1^2+y1^2+z1^2)

　l*x2+m*y2+n*z2+o=-(x2^2+y2^2+z2^2)

　l*x3+m*y3+n*z3+o=-(x3^2+y3^2+z3^2)

　l*x4+m*y4+n*z4+o=-(x4^2+y4^2+z4^2)

となる。行列の式で書けば(libreofficecalcでmathをオブジェクトとして使用)

となり、逆行列を使えば一発で答えが出る。

逆行列と配列定数を使用してl,m,n,oを求める。配列定数を使って前半は４行３列の行列の１～３列目の順を逆にして４列目を追加して４列目を１とした。後半は２乗して横方向の和。

　D8:D11 =ArrayFormula(mmult(MINVERSE(mmult(D4:F7,{0,0,1,0;0,1,0,0;1,0,0,0})+{0,0,0,1;0,0,0,1;0,0,0,1;0,0,0,1}),-MMULT(D4:F7^2,{1;1;1})))

次に中心座標と半径を求める。

　中心z D12 =-D10/2

　中心y E12 =-D9/2

　中心x F12 =-D8/2

　半径^2 D13 =((D8^2/4+D9^2/4+D10^2/4)-D11)

　半径 D14 =((D8^2/4+D9^2/4+D10^2/4)-D11)^(1/2)

	B	C	D	E	F
2
3			z	y	x
4		p1	0.0	0.0	0.0
5		p2	0.0	1.0	0.0
6		p3	1.0	1.0	1.0
7		p4	0.0	0.0	2.0
8		l	-2.000
9		m	-1.000
10		n	0.000
11		o	0
12		中心	0.000	0.500	1.000
13		半径^2	1.250
14		半径	1.118

検算的グラフとデータは今は省略。

2023.10.07 20:49公開　単純ミスなどは適宜修正済＆修正予定

余談１

以下テスト用

htmlの表を使った行列の式の残骸ｗ

[x1	y1	z1	1]	[l]		[x1^2+y1^2+z1^2]
[x2	y2	z2	1]	[m]	=-	[x2^2+y2^2+z2^2]
[x3	y3	z3	1]	[n]		[x3^2+y3^2+z3^2]
[x4	y4	z4	1]	[o]		[x4^2+y4^2+z4^2]

[l]		[x1	y1	z1	1]^-1	[x1^2+y1^2+z1^2]
[m]	=-	[x2	y2	z2	1]	[x2^2+y2^2+z2^2]
[n]		[x3	y3	z3	1]	[x3^2+y3^2+z3^2]
[o]		[x4	y4	z4	1]	[x4^2+y4^2+z4^2]